Queremos resolver este límite: $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\ln (x))^{\frac{1}{1-\ln (x)}}$

Al igual que en el item (i), estamos frente a una indeterminación de tipo $(\infty)^0$. Igual que ya te mencioné en ese ejercicio, este tipo de problemas no tiene nada, pero nada que ver, con el enfoque y el nivel de dificultad que suelen tener los exámenes por UBA XXI. Si venís bien con la materia y al día, aprovechá y quedate que te muestro cómo se resuelve, vamos a seguir un razonamiento similar al que usamos en el item (i). 

Arrancamos tomando logaritmo natural del límite original: 

$ \lim _{x \rightarrow \infty} \ln\left[(\ln(x))^{\frac{1}{1-\ln(x)}}\right] $

Reescribimos usando propiedades de logaritmos:

$ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\ln(x)}[ \ln(\ln(x)] = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(\ln(x))}{1-\ln(x)}$

Ahora si, estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:

$ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}} $ Simplificamos... $ \lim _{x \rightarrow \infty} -\frac{1}{\ln(x)} = 0$

Pero ojo, lo que nos terminó dando $0$ no es el límite original, sino este:

$ \lim _{x \rightarrow \infty} \ln\left[(\ln(x))^{\frac{1}{1-\ln(x)}}\right] = 0$ Aplicamos $e$ a ambos miembros para obtener el valor del límite original: $ \lim _{x \rightarrow+\infty}(\ln (x))^{\frac{1}{1-\ln (x)}} = e^0 = 1 $